对易哈密顿量的平凡低能态与量子 PCP 猜想

我们考虑由对易投影算符之和构成的哈密顿量是否具有“平凡”基态，即这些基态能否通过作用于积态的、具有有界深度和范围的局域量子电路来构造。虽然环面码（toric code）仅具有非平凡基态，但作为两体相互作用之和的对易投影算符哈密顿量具有平凡基态。我们为哈密顿量定义了一个“相互作用复形”（interaction complex），推广了相互作用图的概念，并证明如果该复形可以通过预像直径有界的映射连续映射到一维复形，则在满足关于哈密顿量的一个技术条件（该条件对所有稳定子哈密顿量成立，且我们在关于一维复形的假设下也对所有哈密顿量证明了该结果）时，该哈密顿量具有平凡基态。虽然这包含了参考文献中考虑的情况，但也包括了其他相互作用复形无法粗粒化为参考文献情况的哈密顿量。其中一个动机是量子 PCP 猜想。许多常见的相互作用复形在移除一小部分格点后都可以映射到一维复形。对于此类复形上的对易投影算符哈密顿量，移除这些格点后的哈密顿量的平凡基态即为原始哈密顿量的低能平凡态。此类态可作为低能态存在的经典见证。虽然此结果仅适用于对易哈密顿量，但它表明要证明量子 PCP 猜想，应考虑那些在移除一小部分单元后无法映射到一维复形的相互作用复形。我们在下文中更精确地定义了这一点；从某种意义上说，这推广了扩张图（expander graph）的概念。令人惊讶的是，此类复形确实存在（将在别处展示），并在量子编码理论中具有有用性质。