关于二维对易局域哈密顿量的复杂性

对易局域哈密顿量（CLH）问题的复杂性在量子哈密顿量复杂性研究二十年之后仍是一个谜；仅知其在少数低参数情形下包含于 NP 中。一个特别相关的问题是理解 CLH 的基态是否可由高效量子电路生成。这两个问题触及概念性、物理性和计算性问题，包括量子力学中非对易性的核心地位、量子 PCP 与面积定律。自然地，可先尝试处理嵌入在二维晶格上的更物理的 CLH 情形，但除极少数特例外该问题也一直悬而未决。在此我们考虑一类广泛的二维 CLH 实例；这些是 $k$-局域 CLH，对任意常数 $k$ 成立；它们定义在置于任意曲面复形边上的量子比特上，其中我们要求该曲面复形与“欧几里得”情形相去不远。每个顶点和每个面可关联任意项（只要这些项对易）。我们证明该类属于 NP，且基态存在高效量子电路可制备之。该结果包含了 Schuch [2011] 关于网格上量子比特的 $4$-局域哈密顿量特例，并由此消除了 Schuch 证明中虽显示包含于 NP 却未给出基态量子电路的神秘特征，且对其作了相当大的推广。我们相信本工作及所开发工具向证明二维 CLH 属于 NP 迈出了重要一步。