三角型性质及平衡数、卢卡斯平衡数、余平衡数与卢卡斯余平衡数的奇偶性

平衡数 $n$ 最初定义为丢番图方程 $1+2+\cdots+(n-1)=(n+1)+\cdots+(n+r)$ 的解，其中 $r$ 称为对应于平衡数 $n$ 的平衡子。稍作修改，若 $1+2+\cdots+n=(n+1)+\cdots+(n+r)$，则 $n$ 为带余平衡子 $r$ 的余平衡数。令 $B_n$ 表示第 $n$ 个平衡数，$b_n$ 表示第 $n$ 个余平衡数。则 $8B_n^2+1$ 与 $8b_n^2+8b_n+1$ 均为完全平方数。第 $n$ 个卢卡斯平衡数 $C_n$ 与第 $n$ 个卢卡斯余平衡数 $c_n$ 分别为 $8B_n^2+1$ 与 $8b_n^2+8b_n+1$ 的正根。本文建立了一些三角型恒等式，以及关于平衡数、余平衡数、卢卡斯平衡数与卢卡斯余平衡数奇偶性的若干算术性质。