关于平衡数的几类和

平衡数 $B_n$ ($n=0,1,\cdots$) 是二元递推关系 $B_n=6B_{n-1}-B_{n-2}$ ($n\ge 2$) 的解，其中 $B_0=0$，$B_1=1$。本文展示了关于两个平衡数乘积之和的若干关系，其形式为 $\sum_{m=0}^n B_{k m+r}B_{k(n-m)+r}$ ($k>r\ge 0$)，以及平衡数倒数交错和 $\left\lfloor\left(\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{B_{l k}}\right)^{-1}\right\rfloor$。对于卢卡斯-平衡数 $C_n$ ($n=0,1,\cdots$) 也获得了类似结果，其满足二元递推关系 $C_n=6C_{n-1}-C_{n-2}$ ($n\ge 2$)，其中 $C_0=1$，$C_1=3$。本文还探讨了涉及这些数的若干二项式和。