$q$ 变形模群中的转置及其在 $q$ 变形有理数中的应用

(右) $q$ 变形有理数由 Morier-Genoud 和 Ovsienko 引入，其左变体（分子和分母本质上是有理链环的归一化琼斯多项式）由 Bapat、Becker 和 Licata 引入。这些概念基于连分数和 $q$ 变形模群 $\operatorname{PSL}_q(2,\mathbb{Z})$ 的作用。本文引入了 $\operatorname{PSL}_q(2,\mathbb{Z})$ 中矩阵的 \textit{$q$ 转置}，以完善该理论的基本视角。例如，我们为 Leclere 和 Morier-Genoud 的一个定理（即 $A \in \operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的迹总是回文且符号一致的）提供了新的证明和细化。我们还展示了关于左 $q$ 变形有理数的算术/组合结果（例如，其回文性的判据）。最后，我们讨论了与 Kantarcı Oğuz 关于圆形围栏偏序集猜想的联系。