随机障碍物上随机游走的退火到淬火的渐近转变

本工作中我们研究一种自然转变机制，描述具有独立同分布律的随机障碍物上对称简单随机游走在淬灭（几乎必然）态到退火（平均）态的过渡。我们研究的转变机制首先由 Ben Arous、Bogachev 和 Molchanov 在 [Probab. Theory Related Fields 132 (2005) 579--612] 中于独立同分布随机指数和的背景下提出。设 $p(x,t)$ 为从点 $x$ 出发的随机游走在时刻 $t$ 的存活概率，并设 $L(t)$ 为时间的某个增函数。我们证明在边长为 $L(t)$ 的盒子中对 $p(x,t)$ 的经验平均具有依赖于 $L(t)$ 的不同渐近行为。存在常数 $0<\gamma_1<\gamma_2$ 使得若 $L(t)\ge e^{\gamma t^{d/(d+2)}}$ 且 $\gamma>\gamma_1$，则满足大数定律且经验存活概率像退火情形一样衰减；若 $L(t)\ge e^{\gamma t^{d/(d+2)}}$ 且 $\gamma>\gamma_2$，还满足中心极限定理。若 ${L(t)\ll t}$，平均存活概率像淬灭存活概率一样衰减。若 $t\ll L(t)$ 且 $\log L(t)\ll t^{d/(d+2)}$ 我们得到一个中间态。此外，当维数 $d=1$ 时，可以描述当 $L(t)=e^{\gamma t^{d/(d+2)}}$ 且 $\gamma<\gamma_2$ 时平均存活概率的涨落：我们证明它们是无穷可分定律，其 L\'{e}vy 谱函数在 $x\to0$ 时像特征指数 $\alpha<2$ 的稳定律一样爆发。这些结果表明淬灭与退火存活概率对应于平均场型相变机制的低温与高温行为。