超越伽罗瓦理论与 Noether 问题

1918 年，Noether 发表了一篇论文，研究了一个问题，现在被称为 Noether 有理性问题：设 $L=K\left( t_{1},t_{2},\cdots ,t_{n}\right)$ 是域 $K$ 上的一个纯超越扩张，$G$ 是一个以显然方式传递作用于 $t_{1},t_{2},\cdots ,t_{n}$ 的有限子群。$L$ 在 $G$ 下的不变子域 $L^{G}$ 是否仍在 $K$ 上为纯超越扩张？除少数特殊情况外，该问题在一般情况下仍未解决。在本文中，我们将尝试通过超越伽罗瓦理论来理解 Noether 有理性问题的一般理论。然后，我们将获得新的特殊情况。我们还将对 Swan 在 1969 年给出的著名反例进行推广。