多项式典范高度的无理性

由 Silverman 多年来交流所激发的两个基本问题，涉及 $f(z)\in\bar{\mathbb{Q}}(z)$（其中 $f$ 的次数 $d\geq 2$）的典范高度精确值的性质。第一个问题是猜想：对每个 $a\in \mathbb{P}^1(\bar{\mathbb{Q}})$，$\hat{h}_f(a)$ 要么为 $0$ 要么为超越数；当 $f$ 线性共轭于 $z^d$ 或 $\pm C_d(z)$（其中 $C_d(z)$ 为 $d$ 次 Chebyshev 多项式）时该猜想成立，因为此时对每个 $a$ 有 $\hat{H}_f(a)$ 为代数数。除此之外所知甚少：例如，即使对 $f(z)=z^2+\displaystyle\frac{1}{2}$，也不知道是否\emph{存在}哪怕\emph{一个}有理数 $a$ 使得 $\hat{h}_f(a)$ 为\emph{无理数}。第二个问题要求刻画所有使得 $\hat{H}_f(a)$ 为代数数的对 $(f,a)$。在本文中，我们解决了第二个问题，并在多项式动力系统的情形下对第一个问题取得显著进展。这些是我们关于可表示为 Böttcher 坐标值的乘法组合的代数数的主要结果的推论。主要结果的证明使用了某辅助多项式的构造以及分裂多项式映射的预周期子簇的强有力的 Medvedev-Scanlon 分类。