走向分数阶 Takagi-Taupin 方程的解：Green 函数方法

发展畸变晶体 X 射线衍射的综合性理论至今仍是数学物理领域的重要课题。迄今为止，基于对 X 射线散射平面内两个坐标求一阶偏导数的 Takagi-Taupin 方程的 X 射线衍射理论已被建立。本文提出了一种基于沿晶体深度方向阶数为 $\alpha\in(0,1]$ 的“准时间变量”的一阶分数阶 Takagi-Taupin 方程的理论方法，并建立了相应的 X 射线 Cauchy 问题。随后，在 Cauchy 问题框架下利用 Green 函数方法，推导出了积分形式的分数阶 Takagi-Taupin 方程。对于非均匀入射 X 射线束的情形，获得了完美晶体 X 射线衍射 Cauchy 问题的解，并与基于常规 Takagi-Taupin 方程（$\alpha=1$）的相应解进行了比较。进而注意到，阶数 $\alpha$ 的值可以通过实验 X 射线衍射数据进行调节。