面向求解二次方程的无伪局部极小损失函数的最优构造

寻找满足一组二次方程 $|a_k^\top x|^2=y_k$，$k=1,\cdots,m$ 的向量 $x$ 这一问题在许多应用中具有重要作用。本文考虑 $x$ 与 $a_k$ 均为长度为 $n$ 的实值向量的情况。针对该问题构造了一种新损失函数，其将平滑二次损失函数与激活函数相结合。在高斯测量模型下，我们证明只要 $m\gtrsim n$，以高概率而言目标解 $x$ 是新损失函数唯一的局部极小点（相差一个全局相位因子）。此外，该损失函数在其鞍点周围始终具有负方向曲率。