通过彩虹路径逐步阿尔金排列置论题

我们研究了组合群论中的一个古老问题，这一问题可追溯至 1971 年阿尔金的猜想。给定群 $\Gamma$ 和某个子集 $S\subseteq \Gamma$，是否存在一种排列 $s_1, s_2, \ldots, s_d$ 使得所有部分积 $\prod_{1 \leq i \leq t} s_i$, $t\in [d]$ 均为互不相同？本问题的大多数进展集中在 $\Gamma$ 为循环群的情况。我们表明，对于任意群 $\Gamma$ 和任意 $S \subseteq \Gamma$，必存在一种排列，使得除去极少数比例的部分积外，所有部分积均互不相同，从而在无论 $\Gamma$ 或 $S$ 限制下，建立了阿尔金猜想的首个渐近版本。为此，我们探讨了阿尔金问题与以下由谢尔金提出的自然问题之间的天然联系：给定 $d$ 正则图 $G$ 用 $d$ 种颜色正确上色，是否存在一条包含 $d-1$ 条边的彩虹路径？我们通过显示可找到长度 $d - o(d)$ 的彩虹路径来測試此问题。尽管此结果对阿尔金问题（例如当 $\Gamma = \mathbb{F}_2^k$ 时）有直接应用，但我们上述一般性结果需要更深入的、针对谢尔金问题的自然定向类比问题的结果。