面向广义线性逆问题的最优感知矩阵设计

我们考虑逆问题 $\mathbf{y}= f(\mathbf{Ax})$，其中 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ 为感兴趣信号，$\mathbf{A}$ 为感知矩阵，$f$ 为非线性函数，$\mathbf{y} \in \mathbb{R}^m$ 为测量向量。在许多应用中，我们在设计感知矩阵 $\mathbf{A}$ 方面具有一定自由度，在此情形下可优化 $\mathbf{A}$ 以获得更好的重建性能。作为最优设计的第一步，理解感知矩阵对从 $\mathbf{y}$ 恢复 $\mathbf{x}$ 难度的影响十分重要。本文中，我们研究了最成功恢复方法之一的期望传播（EP）算法的性能。我们定义了 $\mathbf{A}$ 谱的尖峰度（spikiness）概念，并展示了该度量对 EP 性能的重要性。我们表明，更尖的谱是会损害还是有助于恢复性能取决于 $f$。基于我们的框架，我们能够表明，在相位恢复问题中，具有更尖谱的矩阵对 EP 更优，而在 1-bit 压缩感知问题中，较不尖的谱带来更好性能。我们的结果统一并大幅推广了现有比较高斯矩阵与正交矩阵的结论，并为设计最优感知系统提供了平台。