关于形式幂级数的多维线性 Diophantine 近似的通用理论：多维线性复杂性

我们通过一种随机的、具有无限状态机的电池放电模型（Battery-Discharge-Model, BDM）来建模多序列的线性复杂性发展。BDM 的状态 s 在 S 中的渐近概率为 Pr(s)=1/(P(q,M) q^K(s))，其中 K(s) 在 N_0 中表示状态 s 的类别，P(q,M)=\sum_(K in\N0) P_M(K)q^(-K)=\prod_(i=1..M) q^i/(q^i-1) 是将整数划分为至多 M 部分数的生成函数。我们有（对于每个时间步模 M+1）恰好 P_M(K) 个类别为 K 的状态。我们得到了线性复杂性偏差 d(n) := L(n)-\lceil n\cdot M/(M+1)\rceil 的渐近概率公式，为 M in N, d in Z，公式为 Pr(d)=O(q^(-|d|(M+1)))。具体公式见正文。该公式已针对 M=1..8 进行数值验证，并推测对所有 M in N 都成立。从渐近增长（对所有 M in N 均已证明），我们推导出线性复杂性偏差的对数定律：-liminf_{n\to\infty} d_a(n) / log n = 1 /((M+1)log q) = limsup_{n\to\infty} d_a(n) / log n，这立即得出 L_a(n)/n \to M/(M+1)（在 measure one 下），该结果是 Niederreiter 和 Wang recently 所证明的。关键词：线性复杂性、线性复杂性偏差、多序列、电池放电模型、等距映射。