迈向 $\mathbb{C}^d$ 中不完全 Gabor POVM 的分类

由单位范数向量 $g\in \mathbb{C}^d$ 生成的每个（完全）有限 Gabor 系统都是一个有限单位范数紧框架（FUNTF），因此可关联一个（Gabor）正算子值测度（POVM）。若对应的 $d^2$ 个秩一矩阵构成 $d\times d$ 矩阵空间的一组基，则该 POVM 是信息完备的。其充分条件为该 POVM 是对称的，这等价于关联的 Gabor 框架是等角紧框架（ETF）。Gabor ETF 的存在性是 Zauner 猜想的一个重要特例。已知一般地所有 Gabor FUNTF 都导致信息完备的 POVM。在本文中，我们开启了对非完备 Gabor POVM 的分类。在此过程中，我们建立了关于有限 Gabor 框架生成的秩一矩阵的 Gram 矩阵特征值的一些看似简单的事实。我们还利用这些结果构造了 $\mathbb{C}^d$ 中一些具有相对较少不同内积的 $d^2$ 个单位向量集合。