合成维度中的拓扑与定域化

受合成维度量子模拟近期进展（例如超冷原子光晶格中）的启发，我们在此讨论 $d$ 维周期、有隙量子系统（$d \le 4$），聚焦于占据能态的拓扑。我们通过考察能隙以下的谱子空间能否由光滑周期 Bloch 函数张成（对应于位置空间中的定域化 Wannier 函数）来进行此分析。通过按维度归纳构造这些 Bloch 函数，我们表明若要求它们正交归一，则一般而言其存在性会被底层 Bloch 丛的前两个 Chern 类所阻碍，其中第二个 Chern 类特别地刻画了四维情形。若放宽正交归一约束，我们展示 $m$ 个占据能带如何能由至多 $m+2$ 个 Bloch 函数构成的 Parseval 框架张成。