流形上闭的$\widetilde{\mathrm{G}}_2$、$\mathrm{SL}(3;\mathbb{C})$与$\mathrm{SL}(3;\mathbb{R})^2$形式的拓扑性质

本文利用代数拓扑技术（如特征类与阻碍理论），结合作者近期建立的$\widetilde{\mathrm{G}}_2$与$\mathrm{SL}(3;\mathbb{R})^2$形式的$h$-原理以及Donaldson建立的$\mathrm{SL}(3;\mathbb{C})$形式的$h$-原理，证明关于有向6-与7-流形上闭的$\widetilde{\mathrm{G}}_2$、$\mathrm{SL}(3;\mathbb{C})$与$\mathrm{SL}(3;\mathbb{R})^2$形式之拓扑性质的结果。具体而言，获得了任意有向7-流形容许闭（resp. 余闭）$\widetilde{\mathrm{G}}_2$-结构的一个判据，证明了L\^{e}的一个猜想；引入了Donaldson的‘$\mathrm{G}_2$-配边’到$\widetilde{\mathrm{G}}_2$、$\mathrm{SL}(3;\mathbb{C})$与$\mathrm{SL}(3;\mathbb{R})^2$形式的推广，并展示给定上同调类中同伦的$\mathrm{SL}(3;\mathbb{C})$与$\mathrm{SL}(3;\mathbb{R})^2$形式是$\widetilde{\mathrm{G}}_2$-配边的，此结果目前在$\mathrm{G}_2$情形无类似结论；并给出了闭$\mathrm{SL}(3;\mathbb{C})$形式直至同伦的完全分类。此外，获得了给定流形上闭$\mathrm{SL}(3;\mathbb{R})^2$形式同伦类数目的下界，并研究了有向7-流形上闭$\widetilde{\mathrm{G}}_2$-结构的边界值中哪些闭$\mathrm{SL}(3;\mathbb{C})$或$\mathrm{SL}(3;\mathbb{R})^2$形式的问题。