半双线性形式的拓扑分类：约化为非奇异情形

两个半双线性形式 $\Phi:\mathbb C^m\times\mathbb C^m\to \mathbb C$ 与 $\Psi:\mathbb C^n\times\mathbb C^n\to \mathbb C$ 称为拓扑等价的，如果存在同胚 $\varphi :\mathbb C^m\to \mathbb C^n$（即逆也为连续双射的连续双射），使得对所有 $x,y\in \mathbb C^m$ 有 $\Phi(x,y)=\Psi(\varphi (x),\varphi (y))$。R.A.Horn与V.V.Sergeichuk在2006年构造了复方阵 $A$ 的正则化分解；即直和 $SAS^*=R\oplus J_{n_1}\oplus\dots\oplus J_{n_p}$，其中 $S$ 与 $R$ 非奇异，且每个 $J_{n_i}$ 是 $n_i$-by-$n_i$ 奇异Jordan块。本文中我们证明 $\Phi$ 与 $\Psi$ 拓扑等价当且仅当它们矩阵的正则化分解在奇异加项 $J_{n_i}$ 的置换以及将 $R\in\mathbb C^{r\times r}$ 替换为非奇异矩阵 $R'\in\mathbb C^{r\times r}$（使得 $R$ 与 $R'$ 是拓扑等价形式的矩阵）下一致。对实与复双线性形式的类似结果亦被获得。