从上到随机与逆向：一种新的下降代数 shuffle 的分析

我们研究了“从上到随机与逆向 shuffle”，定义为对称群代数中的从上到随机 shuffle 与置换 $w_0$（将每个 $i$ 映射到 $n+1-i$）的组合。更一般地，我们分析了任意 B 基元素与 $w_0$ 的组合。我们证明了任何这种组合的最小多项式（在 $\mathbb{Q}$ 上）因式分解为互不相同的线性因子，这些因子对应于集合成分的“带符号背包数”。这一性质是 B 基元素本身的一个对应属性，由 Brown 使用 Bidigare 的面单体证明。对于从上到随机与逆向 shuffle，最小多项式为 $\prod_{k \in \set{-n+2} \cup \interval{-n+4, n-3} \cup \set{0} \cup \set{n}} \tup{x-k}$。