对称群代数中的单侧循环洗牌

我们研究对称群 $S_n$ 上的一族洗牌算子，其包含自顶随机洗牌。一般洗牌方案为：每次从牌堆中按某概率分布取出一张牌，并将其重新插入到下方（均匀）随机位置。改写为群代数 $\mathbb{R}[S_n]$ 中的表述，我们的洗牌对应于右乘如下元素的线性组合 $$t_i:=\text{cyc}_{i}+\text{cyc}_{i,i+1}+\text{cyc}_{i,i+1,i+2}+\cdots+\text{cyc}_{i,i+1,\ldots,n}\in \mathbb{R}[S_n]$$ 对所有 $i\in\{1,2,\ldots,n\}$（其中 $\text{cyc}_{j_1,j_2,\ldots,j_p}$ 表示一个 $p$-循环）。我们计算了这些洗牌算子及其所有线性组合的特征值。特别地，我们证明右乘线性组合 $\lambda_1t_1+\lambda_2t_2+\cdots+\lambda_nt_n$ 的特征值为数 $\lambda_1m_{I,1}+\lambda_2m_{I,2}+\cdots+\lambda_nm_{I,n}$，其中 $I$ 取遍 $\{1,2,\ldots,n-1\}$ 中不含两个连续整数的子集；此处 $m_{I,i}$ 为某些整数。我们计算了这些特征值的重数，并证明若它们全互异，则该洗牌算子可对角化。为此，我们证明 $\mathbb{R}[S_n]$ 上由 $t_1,t_2,\ldots,t_n$ 定义的右乘算子可同时三角化（经由组合定义的基）。此处为便利而在 $\mathbb{R}$ 上陈述的结果，实际上是在任意交换环 $\mathbf{k}$ 上陈述并证明的。最后我们描述了随机向下洗牌（即被移下的牌均匀随机选取的洗牌）的强平稳时，并给出该事件发生前的等待时间。