顶牌随机洗牌展开公式的推广

在顶牌随机洗牌（top to random shuffle）中，从一副 $n$ 张牌（$1, 2, \cdots, n$）的牌堆顶部移除前 $a$ 张牌，然后将其重新插入牌堆。这一操作可通过将顶牌随机洗牌视为代数 $\mathbb{Q}[S_n]$ 中的一个元素 $B_a$（我们在第 2 节中正式定义）来进行研究。对于 $a=1$ 的情况，Adriano Garsia 在《On the Powers of Top to Random Shuffling》（2002）中推导出了 $B_1^k$（其中 $k \leq n$）的展开公式，但其证明是非双射的。我们以双射方式证明了任意有限乘积 $B_{a_1}B_{a_2} \cdots B_{a_k}$（其中 $a_1, \ldots, a_k$ 为正整数）的展开公式，并由此得出了 Garsia 上述公式的改进版本。我们展示了该公式在 $B_{a_1}B_{a_2} \cdots B_{a_k}$ 上的一些应用，包括计数和概率计算。随后，对于任意群 $G$，我们定义了 $G$-置换群 $S_n^G := G \wr S_n$，并将上述展开公式进一步推广到有限群 $G$ 情形下的代数 $\mathbb{Q}[S_n^G]$，同时展示了 $\mathbb{Q}[S_n]$ 中其他类似的展开公式如何推广至 $\mathbb{Q}[S_n^G]$。