有限维 $1$-Iwanaga-Gorenstein 代数的倾斜理论

在分次 Iwanaga-Gorenstein 代数的表示理论中，分次 Cohen-Macaulay 模的稳定范畴 $\underline{\mathsf{CM}}^{\mathbb{Z}} A$ 的倾斜理论起着突出作用。本文研究当 $A$ 为有限维时 $\underline{\mathsf{CM}}^{\mathbb{Z}} A$ 的倾斜理论中的以下两个中心问题：(1) $\underline{\mathsf{CM}}^{\mathbb{Z}} A$ 是否有倾斜对象？(2) $\underline{\mathsf{CM}}^{\mathbb{Z}} A$ 中倾斜对象的内自同态代数是否具有有限整体维数？对问题 (2) 我们给出完整回答。我们证明 $\underline{\mathsf{CM}}^{\mathbb{Z}}A$ 中任意倾斜对象的内自同态代数具有有限整体维数。对问题 (1) 我们给出部分回答。为此，首先我们为有限维分次代数 $A$ 引入一个不变量 $g(A)$。然后，我们证明在 $A$ 为 1-Iwanaga-Gorenstein 的情形下，关于 $g(A)$ 的一个不等式给出了特定 Cohen-Macaulay 模 $V$ 成为稳定范畴中倾斜对象的充分条件。作为应用，我们研究 $\underline{\mathsf{CM}}^{\mathbb{Z}}\Pi(Q)_w$ 中倾斜对象的存在性，其中 $\Pi(Q)_w$ 是 quiver $Q$ 对应于 $w\in W_Q$ 的截断预射影代数。我们证明若 $Q$ 的底图是树，则 $\underline{\mathsf{CM}}^{\mathbb{Z}}\Pi(Q)_w$ 有倾斜对象。