单变量奇点上的倾斜理论

任意 $\mathbb{N}$ grading 的交换式 Gorenstein 环 $R$，其 Krull 维数为 1，且 $R_0$ 为域，可在稳定范畴 $\underline{\mathrm{CM}}_0^{\mathbb{Z}}R$ 中获得标准倾斜对象 $V$，且对象 $V$ 为倾斜当且仅当 $a$ invariant $a$ 为非负数，如 Buchweitz、第一作者和 Yamaura 所示。在本文中，在额外假设 $R$ 为奇点的情况下，我们证明 $V$ 的 endomorphism 环为 Iwanaga-Gorenstein，其自同构维数至多为 2，并通过 quiver 给出其显式表述。在 $a$ 为负数的情况下，我们证明 $V$ 的 dg endomorphism 环为 Gorenstein，并通过 dg path algebra给出其显式表述。我们通过包括由两个生成元生成的数值半域代数等多个例子解释我们的結果。此外，对于每一种有限和可数 Cohen-Macaulay 表示类型，我们包含 $\mathrm{CM}_0^{\mathbb{Z}}R$ 范畴的 Auslander-Reiten 图，其中标明了标准倾斜对象的位置。作为我们结果的证明步骤，我们给出 dg 代数在 Serre 函子意义上的 Gorenstein 性的判别。