SDP 与 Burer-Monteiro 分解在高噪声 regime 下的紧致性

我们研究了最大似然估计 (MLE) 及其半正定规划 (SDP) 松弛之间的差异，针对相位同步问题，即基于被高斯噪声污染的成对观察来估计 n 个潜在相位，其噪声水平为 $\sigma$。虽然已有研究在 $\sigma \lesssim \sqrt{n / \log n}$ 时证明 SDP 与 MLE 一致，但在高噪声 regime $\sigma \gtrsim \sqrt{n / \log n}$ 中的行为尚不明确。我们通过量化 SDP 与 MLE 在高噪声 regime 下之间的偏差，其形式为 $\exp(-c \frac{n}{\sigma^2})$，表明其差异呈指数级小。实际上，我们为 Burer-Monteiro (BM) 分解提出更一般的结果，将 SDP 作为特例纳入其中：在高噪声 regime 下，BM 分解与 MLE 之间存在指数级小的偏差，当 $\sigma$ 较小时，BM 分解与 MLE 完全一致。为获得上述结果，我们发展了一种超越文献中现有 $\ell_\infty$ 分析的细化 MLE 条目级分析方法。