无关机器上最小化最大完工时间的更紧界

我们考虑将 $n$ 个作业调度到 $m$ 台无关机器上以最小化最大完工时间的问题，其中若作业 $j$ 在机器 $i$ 上处理，则需要时间 $p_{ij}$。Lenstra 等人提出的经典算法为该问题提供了目前已知的最佳近似比 $2$。改进这一界限二十多年来一直是一个突出的开放问题。在本文中，我们对一大类可有效识别的实例获得了更紧的界。具体而言，我们将给定实例的可行性因子定义为每个作业可处理的机器的最小比例。我们证明存在一个多项式时间算法，给定值 $L$ 和 $T$，以及具有足够大可行性因子 $h \in (0,1]$ 的实例，该算法要么证明不存在平均机器完工时间为 $L$ 且最大完工时间为 $T$ 的调度，要么找到一个最大完工时间至多为 $T + L/h < 2T$ 的调度。对于该问题的受限版本，即对每个作业 $j$ 和机器 $i$，$p_{ij} \in \{p_j, \infty\}$，我们证明了一个更简单的算法能产生更好的界，从而对于高可行性实例，改进了 Svensson 提出的针对任意固定 $\epsilon >0$ 的最佳已知比率 $33/17 + \epsilon$。