紧通用二次型

对于正整数 $n$，令 $\mathcal T(n)$ 为所有大于等于 $n$ 的整数之集。若被 $f$ 表示的非零整数之集恰为 $\mathcal T(n)$，则称整二次型 $f$ 为紧 $\mathcal T(n)$-通用的。所有紧 $\mathcal T(n)$-通用二次型上的最小可能秩定义为 $t(n)$。在本文中，我们找出了所有紧 $\mathcal T(n)$-通用的对角二次型。我们还证明了 $t(n) \in \Omega(\log_2(n)) \cap O(\sqrt{n})$。对于某些小整数 $n$，我们将给出 $t(n)$ 的显式下界与上界。