一维 Thomson 问题：曲线上 $N$ 个电荷的最小能量构型

我们研究了平面上曲线上 $N$ 个电荷的最小能量构型，其相互作用势为排斥势 $V_{ij} = 1/r_{ij}^s$，其中 $s \geq 1$ 且 $i,j=1,\dots, N$。所考虑的例子包括不同偏心率的椭圆、直导线和心形线。我们发现，对于某些几何形状，存在多个极小值以及不稳定平衡点。对于心形线情形，我们观察到在 $N \gg 1$ 极限下，尖点的存在对电荷分布有显著影响。