通过同时三角化重探Burnside与Wedderburn定理

我们借助同时三角化来探讨Burnside和Wedderburn的著名定理。首先，对于一般域 $F$，我们证明：若存在这样的子代数，则 $M_n(F)$ 是 $M_n(F)$ 中三角化矩阵的唯一不可约子代数。这提供了Burnside著名定理的一个轻微推广。接下来，对于给定的 $n > 1$，我们刻画了所有使得Burnside定理在 $M_n(F)$ 中成立的域 $F$，即 $M_n(F)$ 是其自身的唯一不可约子代数。事实上，对于除环 $D$ 的中心的一个子域 $F$，我们对上述Burnside定理推广的简单证明可调整以建立一类Burnside型定理：针对 $M_n(D)$ 中具有 $F$ 中内特征值的三角化矩阵的非可约 $F$-代数，即 $M_n(D)$ 的此类子代数相似于 $M_n(F)$。我们利用Burnside定理给出Wedderburn一个定理的简单证明。然后，利用我们的Burnside型定理证明Wedderburn定理的如下推广：半单左Artinian $F$-代数的一个子代数是幂零的，当且仅当该代数作为域 $F$ 上的向量空间由其幂零元张成，且其所有成员的最小多项式在 $F$ 上分裂为线性因子。最后给出Wedderburn定理的一个应用。