线性映射外幂的簇

设 $K$ 为一个域，$V$ 和 $W$ 为维数分别为 $m$ 和 $n$ 的 $K$-向量空间。设 $\phi$ 为从 $Hom(V,W)$ 到 $Hom(\wedge^t V,\wedge^t W)$ 的规范映射。我们研究 $\phi$ 的像 $Y_t$ 的 Zariski 闭包 $X_t$。在 $t=\min(m,n)$ 的情况下，$Y_t=X_t$ 是 Grassmannian 上的锥，但对于 $1<t<\min(m,n)$，$X_t$ 大于 $Y_t$。我们通过相应的 $G$-稳定素理想分析 $X_t$ 中的 $G=\GL(V)\times\GL(W)$-轨道。结果表明，它们由两个数值不变量分类，其中一个为秩，另一个为我们称为小秩的相关不变量。令人惊讶的是，$X_t\setminus Y_t$ 中的轨道源于 $u<t$ 时的像 $Y_u$ 以及简单的代数运算。在最后一节中，我们确定了 $X_t$ 的奇异 locus。除了众所周知的例外情况外，它由 $Y_t$ 中秩 $\le 1$ 的元素构成。