多元 $t$ 分布中众数处的值：是奇闻还是事实？

众所周知，无论维度 $k\geq1$ 如何，当自由度 $\nu$ 趋于无穷大时，多元 Student $t$ 分布收敛于多元高斯分布。特别是，Student 分布在众数处的值（即通过在中心处评估密度函数获得的归一化常数）$c_{\nu,k}=\frac{\Gamma(\frac{\nu+k}{2})}{(\pi \nu)^{k/2} \Gamma( \frac{\nu}{2})}$ 收敛于高斯分布在众数处的值 $c_k=\frac{1}{(2\pi)^{k/2}}$。在本文中，我们证明了一个奇特的事实：对于每个 $k$，$c_{\nu,k}$ 单调趋于 $c_k$，但其单调性在维度 $k=1$ 时为递增，在维度 $k\geq3$ 时转为递减，而在维度 $k=2$ 时保持恒定。简要讨论提出了这样一个问题：这一先验看来奇特的发现究竟是否只是一个奇闻。