长虚拟结的 $V_1$- 与 $V_2$-多项式

我们引入了长虚拟结 $K$ 的两个多项式不变量 $V_1(K;t)$ 和 $V_2(K;t)$，它们推广了 Goussarov、Polyak 和 Viro 的二阶有限型不变量 $v_{2,1}$ 和 $v_{2,2}$。我们建立了它们的基本性质，并证明了任意一对 Laurent 多项式都可以实现为某个长虚拟结 $K$ 的 $(V_1(K;t),V_2(K;t))$。虽然这些多项式在虚拟化下不是任何阶数的有限型不变量，但它们在 $t=1$ 处的一阶导数定义了三阶有限型不变量。作为应用，我们得到了 $\alpha_3$-不变量的一个显式高斯图公式。