准多项式不合理的普遍性

如果一个定义在自然数上的函数$g$存在一个周期$m$和多项式$p_0,p_1,...,p_{m-1}$，使得对于$t \equiv i \pmod m$有$g(t)=p_i(t)$，则称$g$为准多项式。准多项式经典且“合理”地出现在 Ehrhart 理论以及其他考察由变量$t$参数化、并由形式为$a_1x_1+...+a_dx_d \le b(t)$的线性不等式定义的多面体族的语境中。Chen, Li, Sam；Calegari, Walker；以及 Roune, Woods 的最新结果表明，在$a_i$也允许随$t$变化的几个问题中出现了准多项式结构。我们讨论了这些“不合理”的结果，并猜想了一类表现出各种（最终）准多项式行为的集合：由量词（“对于所有”、“存在”）、布尔运算（与、或、非）以及形式为$a_1(t)x_1+...+a_d(t)x_d \le b(t)$的语句定义的$d$元自然数集合$S_t$，其中$a_i(t)$和$b(t)$是$t$的多项式。这些集合是 Presburger 算术中定义的集合的推广。我们证明了猜想之间的几个关系，并证明了猜想的几个特例。标题是对 Eugene Wigner 的“数学在自然科学中不合理的有效性”一文的戏仿。