谱作用的惊人精度

非交换几何已逐渐成为一种从量子力学出发的几何学新范式。其关键特征之一是，这种新几何是谱的，与测量距离的物理方式相一致。本文提供了一个详细的介绍，并概述了如何使用非交换几何的工具来研究时空的量子性质。特别地，我们考察了将谱作用作为该理论作用泛函的适用性。为了展示谱作用如何编码引力动力学，我们考察了在三维球面情形下，谱作用通过其渐近展开进行近似的精度。我们发现，对应于宇宙学常数和标量曲率的这两项已经以惊人的精度给出了完整的结果。随后，这被应用于物理上相关的三维球面与圆的乘积情形，在此情形下，我们证明了对于任何测试函数，谱作用同样由两项之和给出，仅相差一个天文数字般微小的修正，并且特别地，所有高阶项均消失。这一结果通过使用热核展开计算谱作用得到了证实，我们验证了由于显著的抵消，高阶项 a4 和 a6 均消失。我们还证明了，当所使用的测试函数为光滑截断函数时，Higgs 势表现为精确的微扰。