图的孪生操作并不总保持 $e$-正性

受 Stanley 关于色对称函数的 $\mathbf{(3+1)}$-自由猜想的启发，Foley、Hoàng 和 Merkel 引入了强 $e$-正性的概念，并猜想图是强 $e$-正的当且仅当它是 (claw, net)-自由的。为了研究强 $e$-正性图，他们进一步引入了关于顶点 $v$ 的图 $G$ 的孪生操作，该操作向 $G$ 中添加一个顶点 $v'$，使得 $v$ 与 $v'$ 相邻，且任何其他顶点与这两者都相邻或与两者都不相邻。Foley、Hoàng 和 Merkel 猜想若 $G$ 是 $e$-正的，则对任意顶点 $v$ 得到的孪生图 $G_v$ 也是 $e$-正的。基于 Gebhard 和 Sagan 发展的非交换变量色对称函数理论，我们确立了一类称为蝌蚪图的图的 $e$-正性。通过考虑对这些图的一个子类关于某些顶点进行孪生操作，我们反驳了 Foley、Hoàng 和 Merkel 的后一个猜想。我们进一步表明，若 $G$ 是 $e$-正的，孪生图 $G_v$ 以及更一般地宗族图 $G^{(k)}_v$（$k \ge 1$）甚至可能不是 $s$-正的，其中 $G^{(k)}_v$ 是通过对 $v$ 施加 $k$ 次孪生操作由 $G$ 得到的。