某些常微分算子临界集的拓扑

我们综述 Burghelea、Malta 及两位作者近期关于非线性常微分算子临界集拓扑的工作。对于泛型非线性函数 $f$，作用于周期函数 Sobolev 空间 $H^1_p$ 的一阶非线性算子 $F_1(u)(t) = u'(t) + f(u(t))$ 的临界集要么为空，要么与环境微分同胚于一个超平面。对于在 $H^2_D$（Dirichlet 边界条件）上的二阶算子 $F_2(u)(t) = -u''(t) + f(u(t))$，其临界集与环境微分同胚于若干孤立平行超平面的并。对于 $H^2_p$ 上的二阶算子，临界集不是 Hilbert 流形，但仍是可缩的且容许一个正规形。三阶情形的拓扑则远为复杂。