超凯勒商的拓扑与几何

在本论文中，我们从哈密顿群作用的角度研究了超凯勒商以及一些相关的非紧凯勒商的拓扑与几何。我们所采用的主要技术工具是带矩映射的莫尔斯理论。我们证明了一个 Lojasiewicz 不等式，它允许在非紧情形下使用莫尔斯理论。我们利用它推导了一类有趣的非紧商的 Kirwan 满射性，并获得了超环面簇的超凯勒 Kirwan 满射性的新证明。然后我们将注意力转向箭图簇，获得了一种显式的归纳过程来计算这些簇上自然 S^1 作用的不动点集的贝蒂数。为了研究 Kirwan 映射的核，我们将 Jeffrey-Kirwan 留数公式调整到我们的情形。该留数公式可用于计算某些紧子簇上的相交配对，在良好情况下这些给出了超凯勒 Kirwan 映射核的完整描述。我们用几个详细的例子说明了这一技术。最后，我们研究了某类 Nakajima 簇的泊松几何。通过将这些簇嵌入 Hitchin 系统，我们构造了它们上的显式拉格朗日纤维化。该构造提供了一类有趣的 Hitchin 系统的玩具模型，其超凯勒度量可以显式计算。