子空间划分的最小尺寸超尾的结构

设 $V=V(n,q)$ 表示具有 $q$ 个元素的有限域上维数为 $n$ 的向量空间。 $V$ 的子空间划分 ${\mathcal P}$ 是 $V$ 的非平凡子空间的集合，使得 $V$ 的每个非零向量恰好位于 ${\mathcal P}$ 的一个子空间中。对于任意整数 $d$，${\mathcal P}$ 的 $d$-超尾是 ${\mathcal P}$ 中维数小于 $d$ 的子空间集合，记为 $ST$。令 $\sigma_q(n,t)$ 表示 $V$ 的任意子空间划分中最大子空间维数为 $t$ 时子空间的最小数量。Heden 等人证明 $|ST|\geq \sigma_q(d,t)$，其中 $t$ 是 $ST$ 中子空间的最大维数。在本文中，我们证明在某些条件下，若 $|ST|=\sigma_q(d,t)$，则 $ST$ 中所有子空间的并构成一个子空间。