子空间划分的极值大小

V=V(n,q) 的子空间划分 $\Pi$ 是 V 的子空间集合，使得 V 的每个 1 维子空间恰好属于 $\Pi$ 中的一个子空间。$\Pi$ 的大小是其子空间的数量。设 $\sigma_q(n,t)$ 表示 V 的子空间划分中最大子空间维度为 t 时的最小大小，$\rho_q(n,t)$ 表示 V 的子空间划分中最小子空间维度为 t 时的最大大小。本文确定了所有正整数 n 和 t 的 $\sigma_q(n,t)$ 和 $\rho_q(n,t)$ 的值。此外，我们证明了若 $n\geq 2t$，则 V(n+t-1,q) 中极大偏 t-展的最小大小为 $\sigma_q(n,t)$。