parity game 的 Strahler 数

有根树的 Strahler 数是指作为其 minors 的完美二叉树的最大高度。我们提出将 parity game 的 Strahler 数定义为它的任一吸引子分解的树的 Strahler 数的最小值。我们证明了 parity game 可在拟线性空间以及关于顶点数 $n$ 为多项式、关于 $({d}/{2k})^k$ 为线性的时间内求解，其中 $d$ 为优先级数，$k$ 为 Strahler 数。由于 Strahler 数至多为顶点数的对数，该复杂度为拟多项式。证明基于一种小 Strahler-通用树的新构造。我们展示了 parity game 的 Strahler 数是一个鲁棒参数：它与基于 progress measure 树的替代版本以及 Lehtinen (2018) 定义的寄存器数一致。由此可知，parity game 可在拟线性空间以及关于顶点数为多项式、关于 $({d}/{2k})^k$ 为线性的时间内求解，其中 $k$ 为寄存器数。这显著改进了 Lehtinen (2018) 与 Parys (2020) 针对有界寄存器数 parity game 所取得的运行时间与空间。基于小 Strahler-通用树的算法运行时间给出了衡量 parity game 结构复杂度的两个自然参数之间的新权衡 $k \cdot \lg(d/k) = O(\log n)$，从而允许在多项式时间内求解 parity game。这包括 Calude、Jain、Khoussainov、Li 与 Stephan (2017)、Jurdziński 与 Lazić (2017) 以及 Lehtinen (2018) 结果所覆盖的那些参数的渐近设定作为特例，并且显著扩展了此类设定的范围，例如到 $d = 2^{O\left(\sqrt{\lg n}\right)}$ 与 $k = O\!\left(\sqrt{\lg n}\right)$。