Using games and universal trees to characterise the nondeterministic index of tree languages

树自动机的奇偶指数问题询问给定的正则树语言 $L$ 和一组优先级 $J$，是否 $L$ 是 $J$-可行的，即是否由具有优先级 $J$ 的非确定性奇偶自动机识别？这是一个长期悬而未决的问题，只有少数子情形和变体被证明是可判定的。在一个重要但技术困难的步骤中，Colcombet 和 L"oding 将该问题归约到距离奇偶自动机的均匀普遍性。在本文中，我们使用来自奇偶博弈文献中的工具重新审视指数问题。我们在 Lehtinen 的寄存器游戏中添加一些计数器，该游戏最初用于解决奇偶博弈，我们使用这一新博弈来刻画 $J$-可行性。这提供了对 Colcombet 和 L"oding 归约的另一种证明。随后，我们提供第二个刻画，基于吸引子分解的概念，其结构复杂性衡量方式为其参数化版本的 Strahler 数，我们将其称为 $n$-Strahler 数。最后，我们重新表述此结果，方法是将普遍树的概念扩展到自动机：如果一个可指导的自动机识别 $[1,2j]$-可行的语言，当且仅当它包含 $n$-Strahler 数为 $j$ 的普遍树时。特别地，由可指导的自动机 $A$ 识别的语言是 B"uchi-可行的，当且仅当存在一个均匀上界 $n\in \mathbb{N}$ 使得语言中的所有树都有一个宽度受限于 $n$ 的接受运行的吸引子分解，或者等价地，当且仅当 $A$ 包含一个\textit{有限} 的普遍树。尽管我们没有解决指数问题的可判定性，但我们的工作使最新技术更加可及，并揭示了 $J$-可行性与吸引子分解、普遍树和 Lehtinen 寄存器游戏之间的深层关系。