稠密核基随机图的谱

核基随机图(KBRG)是一类考虑顶点间不均匀性的随机图模型。我们考虑大小为$N^d$的离散$d$维环面上的KBRG。条件于独立同分布的Pareto权重序列$(W_i)_{i \in \mathbf{V}_N}$（尾指数为$\tau-1>0$），我们以概率$$p_{ij}= \frac{\kappa_{\sigma}(W_i,W_j)}{\|i-j\|^{\alpha}} \wedge 1$$将任意两个点$i$和$j$相连，其中$\alpha>0$为参数，$\kappa_{\sigma}(u,v)= (u \vee v)(u \wedge v)^{\sigma}$，$\sigma \in (0,\tau-1)$。我们关注该随机图的邻接算子并研究其经验谱分布。对于$\alpha<d$且$\tau>2$的情况，我们证明当$N \to \infty$时存在非平凡极限分布，相应的测度$\mu_{\sigma,\tau}$相对于Lebesgue测度是绝对连续的。$\mu_{\sigma,\tau}$由算子值半圆律给出，其Stieltjes变换在恰当的Banach空间中由固定点方程刻画。我们分析了$\mu_{\sigma,\tau}$的矩并证明即使权重具有无限方差，第二矩仍为有限。当$\sigma=1$时，对应于所谓的尺度自由 percolation 随机图，我们可以明确描述极限测度并研究其尾部。