最小的 $n$-纯子拓扑与维数理论

我们在 Grothendieck 基底拓扑 $\mathcal{T}$ 上引入了 Grothendieck 拓扑之间的 $n$-纯几何态射的概念,这是稠密几何态射与纯几何态射概念的高维推广。我们推广了最小稠密子拓扑与最小纯子拓扑的构造,对每个自然数 $n$ 构造了最小的 $n$-纯子拓扑。在此基础上,我们进而提出了 Grothendieck 拓扑的维数概念,从而自然地得到了有边界的拓扑与无边界拓扑之间的区分。我们证明:无边界的零维拓扑恰好是布尔拓扑;与 $n$-流形相伴的拓扑仍是 $n$ 维的(若流形有边界则该拓扑也有边界)。我们还计算了其他一些拓扑的维数,包括与有理直线相伴的拓扑,以及与右 Ore 幺半群或自由幺半群相伴的拓扑。最后,我们转向代数几何:对于特征为 $0$ 且 Krull 维数为 $d$ 的概形 $X$,我们证明在 $X$ 是 excellent 且正则的,或 $X$ 是簇的假设下,其相伴的 petit étale 拓扑的维数为 $2d$。作为混合特征情形下的首个例子,我们证明 $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ 的 petit étale 拓扑是二维的。