整数分区的单纯几何：通过$Ak-1$根系的精确$O(1)$公式

我们提出了对分区函数$p_k(n)$进行精确求值的结构性方法，系统性地克服了传统递归与渐近方法的局限。通过将分区多面体$\mathcal{P}_{n,k}$置于有理多面体理论与Ehrhart染色框架中，我们证明其离散体积恰由几何单纯性谱分解精确捕获。我们建立了有理结构定理，表明谱权的生成函数是定义在循环域上严格的有理函数。通过在复单位根上的部分分式分解，我们推导出严格闭形式、非迭代的数学公式（紧凑Bonelli恒等式）。这严格证明了评估$p_k(n)$的严格算术复杂度相对于$n$恒为$O(1)$。进一步，我们通过引入Sylvester-Ramanujan波，正式解决了在 astronomically 大$k$下的空间复杂度瓶颈，将内存占用严格降低至$O(k)$。我们 additionally 将该结构框架推广至无限制分区函数$p(n)$，推导出通过Durfee平方的精确$O(\sqrt{n})$闭形式，并在其渐近极限中建立欧拉多边数定理的几何基础。最终，我们显式地将该加法框架转化为乘法数论，提取除函数$\sigma(n)$的几何表达，并为素数计数函数$\pi(x)$建立精确非递归的多面体闭形式。在此过程中，我们正式识别出唯一的几何基：Ehrhart准多项式，桥接连续多面体与离散算术。