用单位正方形对简单多边形进行装箱、覆盖与划分的困难性

我们证明了将轴对齐单位正方形装箱入简单多边形 $P$ 是 NP 困难的，即使 $P$ 是具有半整数坐标的正交且正交凸多边形。自 20 世纪 80 年代初以来，人们就已经知道将单位正方形装箱入带孔多边形是 NP 困难的~[Fowler, Paterson, Tanimoto, Inf. Process. Lett., 1981]，但二十多年前人们猜想无孔版本可在多项式时间内求解~[Baur and Fekete, Algorithmica, 2001]。我们的归约依赖于一种从 \textsc{Planar-3SAT} 归约的新方法。有趣的是，我们对平面公式的几何实现是非平面的。顶点变为行，边变为列，并允许交叉。平面性确保了行和列的所有端点都与所得绘制的外部面关联。然后，我们可以沿着外部面构造一个多边形，在几何上实现公式的所有逻辑，而无需任何孔。这种新的归约技术被证明足够通用，甚至可以证明两个自然的覆盖和划分问题的困难性，即使输入多边形是简单的。如果多边形 $Q$ 包含在一个单位正方形内，我们称 $Q$ 为 \emph{小} 多边形。我们证明了当 $P$ 是具有半整数坐标的正交简单多边形时，寻找并集为 $P$ 的最少数目小多边形（覆盖）以及寻找并集为 $P$ 的最少数目两两内部不相交小多边形（划分）是 NP 困难的。这是已知的首个在无孔多边形上被证明为 NP 困难的划分问题，其通常目标是最小化分块数目。