高斯曲率的形状导数
最优化与控制
2017-08-25 v1 数值分析
摘要
本文引入了关于标量值与向量值函数形状导数的新结果，将 (Dogan-Nochetto 2012) 的结果推广至更一般的曲面能量。该文献考虑的曲面能量定义为曲面上函数的积分，这些函数可依赖于曲面的位置、单位法向量和平均曲率。在本工作中，我们提出了一种系统的方法来推导更一般几何量（包括文献中尚未给出的高斯曲率这一新结果，以及其他几何不变量，如第二基本形式的特征值）的形状导数公式。这一推导适用于任意有限维欧几里得空间中的超曲面。作为结果的应用，且与实际问题中的数值方法相关，我们引入了一种新的 Newton 型格式来逼近形状泛函的极小值。这是对 (Chicco-Ruiz et. al. 2016) 所提出方法在数学上严谨的推广。最后，我们求出了面积与 Willmore 泛函的一阶和二阶形状导数的具体公式，这些公式是上述 Newton 型方法所必需的。
引用
@article{arxiv.1708.07440,
title = {The shape derivative of the Gauss curvature},
author = {Aníbal Chicco-Ruiz and Pedro Morin and M. Sebastian Pauletti},
journal= {arXiv preprint arXiv:1708.07440},
year = {2017}
}