二阶足球博彩问题与广义覆盖码的最优码率

经典足球博彩问题的目标是确定需购买多少张彩票才能保证在一系列 $n$ 场比赛中至少猜对 $n-r$ 场。我们研究该问题的一个广义（二阶）版本，其中这 $n$ 场比赛的任意一场由两个子比赛组成。二阶足球博彩问题利用广义覆盖半径的概念来表述，该概念最近作为线性码的基本属性被提出。我们考虑将此属性推广到一般（不一定线性）码，并通过寻找给定归一化覆盖半径下二阶覆盖码的最优码率函数，给出我们问题的渐近解。我们还证明了当码长趋于 $\infty$ 时，在码率足够大的码中二阶覆盖码所占比例趋于 $1$。