双面的Googol博弈与基于样本的先知不等式

秘书问题或Googol博弈是在线选择问题的经典模型，在过去五十年中受到了广泛关注。我们考虑了该问题的一个变体，并探索了其与数据驱动在线选择的联系。具体而言，给定 $n$ 张卡片，其两面写有任意的非负数。卡片被随机放置在桌子上 $n$ 个连续的位置上，并且每张卡片的可见面也是随机选择的。玩家看到所有卡片的可见面，并希望选择具有最大隐藏值的卡片。为此，玩家翻开第一张卡片，看到其隐藏值，并决定是选择它还是放弃它并继续看下一张卡片。我们研究了针对两个自然目标的算法。在第一个目标中，如秘书问题一样，玩家希望最大化选择到最大隐藏值的概率。我们证明这可以以至少 $0.45292$ 的概率实现。在第二个目标中，类似于先知不等式，玩家最大化所选隐藏值的期望。我们证明，相对于预期的最大隐藏值，其保证至少为 $0.63518$。我们的算法是结合三种基本策略的结果。第一种是每当我们看到一个大于初始 $n$ 个可见数字的值时就停止。第二种是在最后一次翻开的卡片的值成为桌子上当前 $n$ 个可见数字中最大值的第一次时停止。第三种类似于后者，但它还要求最后翻开的值大于其卡片另一面的值。我们将我们的结果应用于分布未知的先知秘书问题，但可以访问每个分布的单个样本。我们的保证改进了该问题的 $1-1/e$，这是目前已知最好的保证，且仅适用于独立同分布（i.i.d.）的情况。