类 Sturmian 序列的重复阈值

一类无限 $d$ 元序列 $C$ 的重复阈值是满足如下条件的最小实数 $r$：在类 $C$ 中存在一个序列，其对所有 $e> r$ 避免 $e$ 次幂。该概念由 Dejean 于 1972 年为所有 $d$ 字母表上的序列类引入。经过众多作者逾 30 年的努力，此类中重复阈值的精确值已对每個 $d \in \mathbb N$ 已知。Sturmian 序列类的重复阈值由 Carpi 与 de Luca 在 2000 年确定。Sturmian 序列可等价地以多种方式定义，因此存在许多向更大字母表的推广。Rampersad、Shallit 与 Vandome 于 2020 年开启了对平衡序列类——Sturmian 序列的可能推广之一——的重复阈值研究。此处，我们聚焦于 $d$ 元类 Sturmian（episturmian）序列类——由 Droubay、Justin 与 Pirillo 于 2001 年引入的另一种 Sturmian 序列推广。我们证明该类的重复阈值由 $d$-bonacci 序列达到，且其值为 $2+\frac{1}{t-1}$，其中 $t>1$ 是多项式 $x^d-x^{d-1}- \cdots -x-1$ 的唯一正根。