环面上的 q-选民模型

在 $q$-选民模型中，位于 $x$ 的选民以速率 $f_x^q$ 改变其意见，其中 $f_x$ 为持相反意见邻居的比例。平均场计算表明，若 $q<1$ 应存在意见共存，若 $q>1$ 则出现聚集。该模型已被物理学家广泛研究，但我们不知有任何严格结果。本文利用选民模型扰动的工具，证明所猜想行为在 $q$ 接近 1 时成立。更确切地说，我们表明若 $q<1$，则对任意 $m<\infty$，含 $n$ 个点的三维环面上的过程存活时间 $n^m$，且在初始瞬态阶段后具有始终接近 1/2 的密度。若 $q>1$，则过程迅速达到单一意见的固定化。有趣的是，在后一情形中，极限 ODE（在其加速时间尺度上）于时间 $\log n$ 达到 0，而同时间尺度上的随机过程于时间 $(1/3)\log n$ 消亡。