多数支持之代价

我们考虑在若干相互独立的二元议题上，寻找一组个体意见之间折衷方案的问题。本文量化了要求结果获得多数支持（换言之，“多数支持之代价”）所导致的代表性损失。假设每个个体若在至少与其不同意的议题数量一样多的议题上认同该结果，则支持该结果。我们的结果也可视为对安斯科姆悖论的量化，该悖论指出议题层面的多数结果可能不受多数支持。为衡量结果的代表性，我们考虑两种度量。首先，我们寻找在尽可能多的议题上与多数意见一致的结果。我们证明，保证存在某个结果能在 ceil((t+1)/2) 个议题上与多数一致且获得多数支持的最大数值等于 ceil((t+1)/2)，其中 t 为议题总数。其次，我们统计选民在某议题上的意见与该议题结果相符的次数。目标是找到具有多数支持且匹配次数最多的结果。我们考虑该次数与可能无多数支持的整体最优结果的匹配次数之比。我们尝试寻找最大比值，使得保证存在具有多数支持且相对于整体最优达到该匹配比值的结果。对于 3 个议题，我们证明该比值为 5/6≈0.83。一般地，我们证明了一个上界，当 t 趋于无穷时该上界任意接近 2√6−4≈0.90。此外，我们在 t 的相关范围内数值计算了一个更优的上界以及一个不匹配的下界。