同质性的代价是多项式

我们给出Homogeneous Wall Lemma的显式和多项式界限。该引理首次出现于Robertson和Seymour的Graph Minors系列第13篇条目中的隐式形式[JCTB 1990]，此后成为图小问题算法理论的基石。对于每个砖块分配一组颜色的墙称为同质墙，如果每个砖块分配相同的颜色集合。Homogeneous Wall Lemma指出，存在一个函数h，给定非负整数q和k和一个h(q,k)-墙W，其中每个砖块分配一个可能为空的{1,...,q}的子集，则包含一个k-墙W'作为子图，使得，如果将每个砖块B的颜色集合设置为W中其内部砖块颜色集合的并集，则W'是同质的。众所周知，h(q,k)属于k^{O(q)}。Homogeneous Wall Lemma在Graph Minor问题中应用的大多数情况下发挥关键作用，其中h对q的指数依赖通常导致对meta参数的最坏情况下的非一致依赖或额外的指数膨胀。通过证明h(q,k)属于O(q^4·k^6)，我们为Sau、Stamoulis和Thilikos[ICALP 2020]提出的问题给出了肯定答案。